円に内接する正方形の、辺の中点と円の中心を結ぶ線の長さ

 この表題ですと、直角二等辺三角形の高さですので、三角関数を利用すればすぐに、(1/√2)rと出ます。

忘れまーす。

内接する正方形は、ひし形という考え方ができますので、面積を、

1/2 (2r)^2 = 2r^2

と、表すことができます。

求める垂線・・・最初のですね？忘れまーすと言ったあれですね。それをxとおくと、内接する正方形の面積は、(2x)^2と表せます。内接する正方形の対角線の交差点から、変に対して垂直に線をおろし、しかし、苑の外周まで届かず、正方形の辺で止まる。ｘはこのような感じでしたね。それなら、それは正方形の１辺の半分ですから、それを利用して正方形の面積は(2x)^2と、表せます。ですので、

(2x) ^2 = 4x^2 = 2r^2

と置くことができます。ひし形の面積が上記のように、半径ｒを利用して 2r^2でしたかれね。

x^2 = 1/2r^2

x = ±(√1/2)r = ±((√2)/2)r

となります。先に書いた、答えは、最初に三角関数で解いた答えは(1/√2)rですが、分母分子に√2を掛けますと、最後に書いた答えと同じ(√2)/2となり、答えが一致したことになります。