4次元立体の、メビウスの輪

 四次元立体のメビウスの輪を考えました。

先に説明したことがありますが、三次元立体表面の、二次元閉平面は、展開図が書けます。それで展開図の境界面は任意の対応する面へジャンプします。二次元平面構成4次元メビウスではなく、三次元full構成4次元メビウスです。立体内部は満たされています。

ここではねじれのそれぞれの面は、4次元的な接続はあり、面はそれぞれ対応する面へジャンプし、4次元空間では閉じています。4次元的には閉じた4次元立体です。奇妙にねじれたところは、中央が外側の辺と接続しており、3次元的には満たされた立体です。多分粘土で作れます。

四角形で作ったのは、内と外をねじって接続した時、同じ長さだからです。円だと、切開した境界面がみかん型になるから内外逆の接続をすると、面が合わないです。四角形ですと面が合います。ねじれ方向は同じだと多分面を構成するであろうかと考えます。逆でも行けそうですけどね。ここでは同じ方向へねじれています。そして切開された面のそれぞれは4次元的には切開されていなくて、対応する境界面へジャンプします。

よーするに、この図形は、4次元立体の三次元展開図です。こんなの書けませんよね？4次元立体の三次元展開図。体積があるからです。ですから展開図と言われても・・・・となりそうです。でもまあ、この形なら行けそうですけど？

ちなみにお気づきでしょうけど、2次元平面構成、4次元メビウスはこの応用で、考えつきますよね？紙の筒を、両端を数等分で切開して、ねじって、糊で止める。おそらく4次元的には対応する切開辺で、互いにジャンプします。なんとこの形は、そのまま2次元展開図まで持っていけます。4次元立体2次元展開図です。

ジャンプが分かりづらいですか？3次元の2次元展開図、サイコロの展開図は、十字架みたいな形ですよね？糊で止める予定の箇所は、互いに予定では三次元的には接続される予定です。ここ同士は互いにジャンプしますよね？立体になったら地続きですから。ですから展開図の場合ここはこのあとこっちへ移動できます・・・という考え方になります。

この図はそれの4次元バージョンです。ねじった四角い飴の、切開されたそれぞれの面は、おそらく4次元的には接続があり、対応する面へジャンプします。

・・・・確証はないです。多分行けそうな気が・・・・

先に説明した、三次元立体の表面というものは、三次元拡張された二次元閉平面を認めている形ですという話をしました。二次元閉平面は、ですから三次元立体を構成しそうですよね？ところがRPGのマップは、二次元閉平面なのに、三次元立体を構成できなさそうだと今、気づきました。どーやって書きましょうか？四次元拡張すれば接続できますかねえ？まあ同じマップが6枚あれば、正六面体で記述は可能ですけど。

そーしますと、サイコロ、正六面体の十字形の、中央にRPGマップを書き、十字架は少し長めにして、短い方を折らずにに糊付け。リングみたいですね。それで、くっつかないように長い方をリングにして糊付け。それで、RPGの世界マップが書かれていないところは、概念的な四次元接続を表す、長さはゼロ。このように作って考えれば、四次元立体として表せそうです。この形状は4次元に次元レベルがアップすると単体として1個としてカウントできる’図形’になる、とこーなりますよね？書きながら考えてるんですけどね？ここが合ってますと、次元が上昇すると初めて立体として、1個としてカウントできる、同相、位相同型図形に昇格する図形が有るということになりますよね？・・・・いや、下の次元では表現できないだけか、この場合は。

この場合、辺が2本の、4次元立体の表面を構成する、4次元拡張された二次元閉平面であろうかと考えます。飴で似たような形がありますね。バター飴みたいな。それで、穴が空いていない。穴があかない立体なら満たすことが可能。full立体です。ああ、やっぱり穴がない図形になりそうですね。ということは、1個としてカウントできる4次元図形に昇格出来る、3次元をすっ飛ばして、4次元になれる二次元閉平面は存在するということになりますか。・・・・うーん・・・まだ確証が無いですけど。

ああ！ドーナツで記述可能か！しまった！ドーナツなら3次元記述が可能ですね！うかつでした！まあ空間の湾曲を認める形という、特殊なケースを認める形で、ですけどね？・・・いや、折ればいいのか。封筒型で、記述可能か。まあでも多少湾曲してますかね。内とと外で。封筒でリングをつくると、内側が皺になりますし。

なら、厚さゼロの二次元リングなら、記述可能ですね。封筒型にしない。紙ッペらの紙のリボンです。それの端と端をつなぎ合わせる。上下方向は、裏へ回る。3次元ユークリッド空間での、RPGマップの、記述ができましたね。二次元リングの表と裏を認める形を採用すると、記述可能ですね。

バター飴はいらないのか。しかしバター飴は、4次元空間では、ありそうです。辺の長さが同じなので、同じ長さ同士でジャンプすると考えるのです。そーしますとこの立体は中が満たされます。奇妙ですが、4次元空間内で回転させても穴が空いていないです。4次元的には水が貯められます。

先の図では、交差しているから図形にならないかも。ならこっち。こっちも提案しておきますね。まあまだ確証がないので提案です。