図形の種類、ポアンカレ予想について調べたのですが、ちょっと、知識が足りない

 まあ、代数幾何は詳しくないです。ですからまた持論になります。自分の意見。

3次元立体において、

・辺や面は、いくらでも伸び縮みしていい。

・角や頂点は、無くしてもいい。

このルールのもと、どんな図形も変形していい。ただし、途切れさせることをしてはいけない。

このルールに基づいて、図形を変形させると、

2次元図形は、円に変形可能です。

3次元図形は、球に変形可能です。

ポアンカレ予想の下地に知識として考えました。

さて、合ってますか？

実は足りていません。

2次元図形は、それの他にドーナツ型があります＜トーラス＞。実は2種類です。CDですね。面変形です。

3次元図形は、球の他に、もちろんドーナツがあります。それと、空洞。ゴムボールみたいなものです。それと、ドーナツ＝空洞複合立体。この4つです。

球は、自分は、fullと名付けています。満たされている。

ドーナツは、dounut。どーやらトーラスと言うらしいです。自分はdounutということにしています。

空洞は、space intoと名付けています。ゴムボールのような物体です。

それと、ドーナツ＝空洞混合立体。add to dounut and space into。この4種です。

・球[full]：３D1。種類数1種類, 1kind

・ドーナツ:[dounut]３D２。種類数、無限大。物体に穴の数だけ無限にあります。∞ kinds.

・空洞:[space into]３D３。種類数、無限大。物体に空洞の数だけ種類が無限にあります。∞ kinds.

・ドーナツ＝空洞複合立体:[add to dounut and space into]３D4。種類数、無限大。ドーナツの穴と、空洞の数だけ無限に種類数があります。∞ kinds.

パンチングされた穴がたくさん空いている金属板は、dounut型三次元立体の一種です。３D2ですね。

スポンジは、ドーナツ＝空洞複合立体です。３D4ですね。

という自作の持論ですけど。自分で考えました。

この考え方ですと、二次元は、

・円:[full]２D1。満たされた図形。１種類。1kind.

・ドーナツ:[dounut]２D2。穴が空いている。穴の数だけ種類数は無限にあります。∞ kinds.

この考え方の特徴は、この条件を満たす物を、’図形’ として、１個、としてカウントできる存在であるという意味で、’図形’と定義できるところです。

このことは、同相と言うそうです。以前読んだことが有る文章を見つけました。

足りていない知識というのは、どーやら調べたところ、二次元平面の、３次元拡張を認めているようですね。それをすると、厚みのない物体は３次元上では存在しませんが、数学的にはありえます。しかしながら、厚みが０なので、すり抜けますよね？辺の衝突を以って、違うものとして領域を侵害しない、というやり方でしょうか？ここのところは難しいです。球面という、２次元平面はどのように考えるべきか？球面に限らず、３次元立体として、１個と数えられる’図形’は、閉平面を構成しています。２次元グラフに変換すると、完結した閉平面であり、境界でループします。この図形はどのように表現すべきか、まだ理解が届いていません。

サイコロは、球に変形できます。ところでサイコロは展開図が描けます。あの、紙で作る、サイコロになる前の展開図、あの展開図の端っこで反対側へ移動するという、２次元表面の閉平面が構成されます。パックマンというゲームで、反対側の画面へ移動できていましたが、そーゆー感じです。・・・・・どーゆー風に考えましょうか？サイコロの展開図そのものが、この二次元閉平面の、二次元グラフそのものです。二次元ユークリッド空間そのものです。その外側は無いです。

球ですと、球に墨か絵の具を塗り、ガーゼでしわ無く包み、広げた形が展開図でしょうか？ガーゼが変形しているから駄目かも。むしろシワありの方のギザギザした展開図のほうが合ってますかねえ。それとも・・・・ラジアンかなあ・・・こっちかも。

いずれにせよ、閉平面を構成しているなら、その閉平面は、三次元立体を構成してはいそうですね。部分的に無限二次元平面と連結している場合は、もうわかりません。大きな紙に、サイコロの展開図を、端っこだけ切り離さずに切りはなし、サイコロを作るけど切り離していないところは二次元平面と連結。そーしますと、一部はループ空間ですが、ループ空間を出ると、無限二次元グラフ空間へ脱出、という構成になります。二次元グラフはどのように書きましょうか？もう書けないですよね、多分。

今気づきましたが、sinのグラフなんかは、二次元閉平面グラフですよね？三角関数グラフ。上下、ｙ軸はどーなっているかはわかりませんが、ｘ軸方向は閉平面構成と想像しているそれと同じ事になっています。

追記。

ここで言っている、三次元拡張された二次元閉平面グラフ＝ユークリッド空間は、ひょっとして、展開図で表せますかね？展開図の表記を以って、三次元拡張二次元閉平面の表現とする。まあ、しかし、パックマンの例でいうと、どの座標から外側へ出ようとすると、どの座標へジャンプするのかの表記法がないと不完全ではありますね。

三次元拡張された二次元閉平面は、要するに三次元立体の表面のことです。地球の表面は二次元ですからね。ポルトガルから、東へ黄金の国ジパングを目指せば、それを通り過ぎてアメリカへ行って、そしてポルトガルへ戻ってきます。パナマを見つけるのが大変ですけどね？同じところへ戻ってくるでしょう？ですから閉じた平面、二次元閉平面であり、端っこでループします。もう、ドーナツ３個がくっついている閉平面は、どの境界が、どの境界へジャンプするのか表現が難しいです。

追記。

おそらくジャンプの境界辺は、長さが同じであろうと考えます。ジャンプの元と、ジャンプ先は、辺の長さが同じ。合同。おそらくです。まだ確証はないです。